無限について

算数では0や自然数を習います。中学で数学へと科目名が変わって、負の数や有理数無理数なども習うので、ここで集合論をかじってみました。

 1、自然数Nは実数Rの要素である。N∈R(NはRの要素)と表せる。

 2、自然数は無限にあり、実数も無限にある。

12のことはだれでもわかる。

ここで一つ疑問が出てくる、

自然数全体の無限と実数全体の無限はどちらが大きいのか?

答えは簡単 自然数無限 個<実数無限 個 である。がややこしい。

無限の大きさ=濃さ(濃度)!

無限について論じるとき便利なものが濃度(cardinality)

 

ℵ₀の登場

ℵ(アレフ)はギリシャ文字でありNに似ているが、少しふにゃけている。

 *1

ℵ₀(アレフゼロ)は自然数集合の濃度を表す。

つまり自然数の個数の大きさを表している。

そして一番小さい部類の無限である。

無限の種類

結論から言うと、例えば集合X{a₁、a₂、a₃、・・・・・、a₀}があるとして、

|X|<ℵ₀だとしたら、Xは有限集合(finite set)

|X|=ℵ₀だとしたら、Xは数えられる無限集合(countably infinite set)

|X|>ℵ₀だとしたら、Xは数え切れない無限集合(uncountably infinite set)

となる。*2

矢印対応*3

{a₁、a₂、a₃、・・・}を自然数の要素(元)と1対1で対応させると

{a₁、a₂、a₃、・・・}

  ↓      ↓      ↓

{1、  2、  3、・・・}

となり この対応させたときの関係が重要となる。

有限集合|X|<ℵ₀

X={1,2,8}は

自然数N={0,1,2,3、4、5、6、7、8、9、・・・}に含まれるので |X|<ℵ₀

 これは無限ではない。

数えられる無限集合(可算集合|X|=ℵ₀

 もしℵ₀とℵ₀+1があったとして大小関係を調べたい。

1足してるんだから後者の方が大きく思える。

ここで矢印対応をやっていけば分かるが、無限に続くことになる。

無限に対応させていくことが可能なのだから、ℵ₀=ℵ₀+1となる。

つまり濃度は同じである。

数えられる無限集合とはいえ、実際に出来るわけではない)

偶数、奇数、有理数などの無限の大きさもℵ₀となる。

数えられない無限集合(非可算集合 |X|>ℵ₀

たとえば0から1までの実数に番号を割り振ります(テキトーな小数達)

① 0.392859

② 0.458692

③ 0.694021

④ 0.805839

0から1までの実数すべてに自然数番号を割り振れたと仮定します。

小数点第☐位のものを順に少しずつ数を変えて並べると

① 0.92859

② 0.48692

③ 0.69021

④ 0.80539

Ⓧ 0.465900

X番目という新しい実数が作れてしまうわけです。

ここで仮定と矛盾するので背理法より命題は間違い。

カントールの対角線論法 - Wikipedia

 

つまり 数えることのできない集合です。

実数や複素数のことです。

まとめ

あまり厳密には説明できませんでした。

少しでも興味を持っていただければ幸いです。

訂正があれば教えてください。

終わり

 

 

 

 

 

 

 

*1:どこかの宗教団体で有名なのだがここでは触れない

*2:※正しくない和訳

*3:正しい用語ではないです